故事二十七：韓信暗點兵

我國漢初軍事家韓信，神機妙算，百戰百勝。傳說在一次戰斗前為了弄清敵方兵力，韓信化裝到敵營外偵察，隔著高大寨墻偷聽里面敵將正在指揮練兵。

只聽得按3人一行整隊時最后剩零頭1人，按5人一行整隊時剩零頭2人，7人一行整隊時剩零頭3人，11人一行整隊時剩零頭1人。據此韓信很快算出敵兵有892人。于是針對敵情調兵遣將，一舉擊敗了敵兵。這就是流傳于民間的故事“韓信暗點兵”。

“韓信暗點兵”作為數學問題最早出現在我國的《孫子算經》中。原文是“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何子”

用現代話來說：“現在有一堆東西，不知它的數量，如果三個三個地數最后剩二個，五個五個地數最后剩三個，七個七個地數最后剩二個，問這一堆東西有多少個？”

該書給出的解法是：

N= 70×2+21×3+15×2?2×10570\times2+21\times3+15\times2-2\times105

這個解法巧妙之處在于71、21、15這三個數。

70可以被5和7整除，并且是用3除余1的最小正整數，因此 2×702\times70 被3除余 2;

21可以被3和7整除，并且是用5除余1的最小正整數，因此 3×213\times21 被5除余 3;

15可以被3和5整除，并且是用7除余1的最小正整數，因此 2×152\times15 被7除余2。

這樣一來， 70×2+21×3+15×270\times2+21\times3+15\times2 被3除余2，被5除余3，被7除余2。這個數大于100，容易算出3、5、7的最小公倍數是105。從這個數中減去兩倍的105，不會影響被3、5、7除所得的余數。

N= 70×2+21×3+15×2?2×10570\times2+21\times3+15\times2-2\times105 =23

仿照《孫子算經》中“物不知數”問題的解法，來算一算“韓信暗點兵”：N= 385×1+231×2+330×3+210×1?1155385\times1+231\times2+330\times3+210\times1-1155 =2047-1155=892

“韓信暗點兵”在中國古代數學史有過不少有趣的別名，如“鬼谷算”、“秦王暗點兵”、“剪管術”、“隔墻算”等。

這就是著名的“中國剩余定理”或“孫子剩余定理”。